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v=5-2 量子霍尔态之谜(上)

2020-06-09 05:27 370浏览

笔者曾用了三四篇文章来讨论霍尔效应。从经典的整数量子霍尔效应(IQHE)、分数量子霍尔效应(FQHE)、複合费米子(Composite Fermion)到最近重新掀起讨论的 \(v=\frac{1}{2}\) 费米液体态(Fermi Liquid)。在本文中笔者想延伸这些故事,讨论另一个实验上被观测到的着名的偶数分母的量子霍尔态——\(v=\frac{5}{2}\),以及它所牵涉的谜团。

然而笔者必须先在此自白:量子霍尔效应并不算是最好的科普题材。儘管这个问题的组成元素很基本:电子、库伦作用与垂直的磁场。但真的要进行定量说明的时候,我们很难避免讨论一些比较生硬的概念,比如说磁通量附着(flux attachment)与测试波函数(trial wavefunction)。而且事实上除了一些拓朴性质,譬如电导率的係数 v,即便最前沿的计算也很难给出很好的解析结果。绝大多数我们必须倚赖数值计算,从而失去一些直觉。

从实验的角度,从事量子效应测量的团队在世界上也非大宗。

然而,从理论物理学历史的角度看,量子霍尔效应却与很多点子的诞生与发展密切相关,包括拓朴超导体、陈-西蒙斯(Chern-Simons)理论、马约拉纳费米子(Majorana fermion)、对偶(Duality)等。也因此,当代的理论物理学家们儘管未必是霍尔效应的专家,但或多或少都会对它的特徵有些基本的认识。

v=5/2 量子霍尔态之谜(上)

Figure1. 磁通量附着的示意图。左图画的是物理电子在磁场中的状况,右侧是对应的複合费米子状态。我们以水蓝色小球代表电子、红色箭头代表磁通量。我们将两个磁通量跟电子绑在一起,形成一个紫色的複合费米子。而此图显示的状况就是当电子数只有磁通量数的一半时,平均而言複合费米子看不见净磁场。(photo credit: 作者自绘)

量子霍尔效应

现在让我们先用 30 秒複习量子霍尔效应的基本物理。

首先忽略电子之间的交互作用,那幺电子能阶在磁场中会形成兰道阶(Landau Levels)。每个兰道阶就像一层公寓,有很多具有一样能量(房租)的轨域(房间)。当电子恰好填满某个数目的兰道阶,想要到达下一层楼就必须支付能量(加钱)。因而整个系统内部形成一个绝缘体。当在 \(x\) 方向施加电场 \(E_x\),我们其实没办法激发出 \(x\) 方向的电流,但在系统的边界累积的电荷可以导致 \(y\) 方向的电流 \(J_y\),写成欧姆定律的形式:

\(J_y=\sigma_{yx}E_x\)

而这边的霍尔电导是整个霍尔效应里最重要的物理量,它符合量子化的条件

\(\displaystyle\sigma_{xy}=v\frac{e^2}{h}\)

其中v代表了被填满的兰道阶数目。

而后人们在实验中发现v 其实也可以是个分数,而前面的论述无法说明分数的量子霍尔态。R. Laughlin 首先提出了一个测试的波函数,很好地描述了 \(v=\frac{1}{3}\) 的性质。在物理图像的理解上,J. K. Jain [2] 提出了複合费米子的概念,将一个电子解释成一个複合费米子加上两个单元磁通量,而分数的量子霍尔效应便能够理解成複合费米子的整数霍尔效应。

若複合费米子处于整数霍尔态n, 而电子处于分数霍尔态v,他们的关係可由所谓的 Jain 序列给出:

\(\displaystyle v=\frac{n}{2n+1}=\frac{1}{3},\frac{2}{5},…\)

其中在 \(n\to \infty\) 的极限,v 趋向 \(\frac{1}{2}\)。在这个极限複合费米子感受不到任何磁场,而直觉上这会形成一个费米海(Fermi Sea)与金属态。从多体物理的角度而言,这个费米海是没有能隙的,也就是说无穷小的能量便能激发这个系统,而这也被实验所证实。

v=\(\frac{5}{2}\) 态

奠基在这些背景知识,在接下来的篇幅,我们就解释 \(v=\frac{5}{2}\) 的神秘之处,并且在续作中尝试铺陈与其相关的谜团。

首先我们希望透过小学加法先建立一点直觉:

\(\displaystyle\frac{5}{2}=1\times 2+\frac{1}{2}\)

这个解析的意思是,\(v=\frac{5}{2}\) 的量子态是两个满的兰道阶与一个半填满的兰道阶。由于填满的兰道阶和半满的兰道阶之间有能隙,这个能隙的大小正比于磁场,从而在磁场很大的状况下,低能量的物理应该只跟半满的兰道阶有关係。沿用前一段的论述,我们的直觉是这个量子态应该也要是个金属态。

然而有趣的事实是,实验上所见的 \(v=\frac{5}{2}\) 与 \(v=12\) 不同。前者具有霍尔平台,并且是个有能隙的量子态。

所幸,这不是物理学家们第一次遇上一个无磁场的费米海形成有能隙的量子态。超导体基本上就符合这样的特徵。爰此,目前 \(v=\frac{5}{2}\) 被广泛接受的理解是,複合费米子们形成古柏对(Cooper pair)而凝聚成一个超导体态。但这个古柏对不可以是最简单版本的 BCS 模型。因为在强磁场中电子们的自旋方向被极化,儘管複合费米子看不见磁场,但因为它们跟电子们具有一对一的对应,也就没办法形成自旋向上搭配自旋向下的 s 配对。由于庖立不相容原理,只能是具有奇数角动量的 pf, … 配对。

这个解释提供了物理图像,但真要进行计算时,我们想要知道这个系统基态真正的长相。退数步言,我们想知道有没有一个像 Laughlin 波函数一样的测试波函数,既可以写出(不算太複杂的)解析形式、具有正确的拓朴性质(量子数)并且在数值上十分靠近真正的基态?

简单的答案是,还真的有,而且有太多了。在下集中,我们将介绍一些有力的候选人、他们所具备的特徵,并且指出近来的实验新发现如何对影响物理学家们对它们的态度与点子。

v=5/2 量子霍尔态之谜(上)

Figure2. 不同自旋态的电子可以形成的古柏对必须带有不同的角动量。左图是最简单 BCS 理论的 s 波配对,右图是在 5/2 中有可能的 p 波配对。(photo credit: 作者自绘)

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