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v=5-2 量子霍尔态之谜(中)

2020-06-09 05:28 986浏览

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v=5/2 量子霍尔态之谜(中)

Figure1. 2+1 维流体中可能的漩涡组态。(photo credit: 作者自绘)

谁是描述v=5/2基态的波函数?曾经我们都快要相信就是 Pfaffian 波函数,直到 …… 。

在前文中我们複习了量子霍尔效应,并在文章的下半段介绍 \(\frac{5}{2}\) 态,并说明为什幺他是个有趣的问题,并且用一个问题结尾 —— 我们有没有一个类似 Laughlin 波函数的试验波函数来代表这个状态。而在本文中我们将更深入地讨论这个悬问。

在这之前,笔者想先釐清前文的一段叙述。

上文的后段中,我提及这个 \(\frac{5}{2}\) 态可以想成是複合费米子形成的超导体态,并且我声称,这些複合费米子必须以 p 、f 波或其他奇数角动量的方式配对。我必须承认在写下这段叙述时,我心中已经有某些波函数,并且这个宣告暗自地假设了 (1) 在那一层兰道阶的电子们的自旋都在同一个方向上,而且 (2) 複合费米子是非相对论性的费米子。第一个条件在文中也有提及,但其实最早的研究中,学者们也曾考虑过电子自旋未极化的状况,在那样的假设底下,複合费米子也能以 s 波配对。关于实验上对这个假设的最新报导,可以参考 [1]。第二个假设则是近年来引起许多讨论,因为在芝加哥大学的 Son 在 2015 年提出複合费米子其实也可以是狄拉克费米子 [2],这个狄拉克费米子可以形成 s 波配对。

为了不混淆大家,在接下来的讨论中,若无特别说明,我都将维持 (1) 跟 (2) 的假设。

Pfaffian 波函数

回到 \(v=\frac{5}{2}\) 量子态,我们的问题是:有没有一个像 Laughlin 波函数的波函数,可以帮助我们了解这个量子态?在 1991 到 2007 间,在数值结果上呼声最高的候选人是所谓的 Moore-Read 波函数 [3],又称作 Pfaffian 态(简写成 Pf)。

Moore 跟 Read 显然是提出的两位物理学家,那什幺是 Pfaffian?

写作的时候我才发现这个词没有中文的维基网页。用最简单的方法讲,给定一个偶数维度的反对称矩阵,这个矩阵的 Pfaffian 约略就是行列式开根号。这个名称与波函数的具体形式有关係,在后续的段落中,我都将之简写为 Pf 态。

除了是 \(v=\frac{5}{2}\) 的强力候选人,Pf 态本身就是一个故事很丰富的波函数。甚至可以说,人们寄託于 \(v=\frac{5}{2}\)量子霍尔态的许多想像,都来自于 Pf 态。以下就让我们来陈述它的性质。

(i) 分数电荷:回想首先声名大噪的 Laughlin 波函数,这个波函数其中一个贡献就是,他说明了在系统中的準粒子可以带有分数电荷,以v=1/3的量子霍尔态而言,里面的準粒子带的电荷是 \(q=\frac{e}{3}\),也就是三分之一的电子电荷。利用 Pf 波函数,Moore 跟 Read 也可以进行类似的计算,并且发现这里面的準粒子有

\(\displaystyle q=\frac{e}{4}\)

(ii)马约拉纳(Majorana)费米子:在粒子物理的定义中,马约拉纳费米子拥有自己是自己的反粒子这种特殊的性质。在凝态物理中,由于数学上形式的类似,普遍认为在超导体中的博格柳博夫(Bogoliubov)粒子在某些条件下可以是马约拉纳粒子。其中一个场合就是在 p 波超导体的「漩涡」[1]中,一如前面重複阐述的,Pf 态是一个 p 波超导体。也因此若他真的描述了 \(v=\frac{5}{2}\) 态,那这个霍尔系统就也变成搜寻马约拉纳费米子的平台之一。

(iii) 非阿贝尔任意子(non-Abelian anyon):任意子(anyon)是在 2+1 维系统中一个特殊的概念。出发点是,考虑在空间的两个粒子,我们输送其中一个粒子,让它绕过另外一个粒子,然后我们问,描述这两个粒子的波函数在这个过程前跟过程后有什幺差?在 3 维空间中,其实没有办法真的去界定说一个粒子真的「绕过」了另一个。但在 2 维空间是有办法的。最一般的状况是,这个波函数会被乘上一个绝对值为 1 的複数,从而可以推论,当我们交换两个粒子的位置(绕半圈),波函数也会被乘上一个绝对值为 1 的複数。当这个数不是 +1(玻色子)或 -1 (费米子)时,我们称它为(阿贝尔)任意子((abelian) anyon)。在这边 abelian 的意思是真的只有乘上一个複数。Pf 态里面具有的是更神秘的 non-Abelian 任意子 [4]。

它的意义是,首先,给定某个能量,这个系统得有很多简併态(degenerate states),也就是说很多具备不同量子数的状态都具备这个能量,而重要的点,是这些简併态不能经由局部的操作(local operation)从一个跑到另外一个。非阿贝尔任意子的概念是,当我们编织这些任意子的时空轨迹时,结果不只是在波函数上乘上一些複数,而让我们从其中一个简併态跳到另外一个简併态。

v=5/2 量子霍尔态之谜(中)

Figure2. 一个简单的想像非阿贝尔性任意子的示意图。形式上一个马约拉纳费米子可以视为半个电子。现在我们设想一个有四个马约拉纳费米子的物理态(可以被理解成有两个「电子」)当我们如左图这样交换两个马约拉纳费米子,会回到原来的状态,则波函数会乘上一个绝对值为 1 的複数。若我们如左图这样交换原本在不同「电子」内的马约拉纳费米子,则会进入另外一个简併态。(photo credit: 作者自绘)

Pf or Not?:

以上这些性质,在学理上可以被应用在量子计算,又因为 Pf 态是呼声最高的 \(v=\frac{5}{2}\) 候选人之一,也因此某些学者会认为这个霍尔态也有机会变成实验量子计算的平台(但我们现在知道这并不是一个领先的提议。)

但笔者想要在下篇接续的故事是,在 2007 年左右,有其他学者提出了跟 Pf 态不分伯仲的 anti-Pfaffian 波函数,更甚者,在 2015 年, Son [2] 提出 PH-Pfaffian 态,究竟这些不同的 Pfaffian 谁更受真实世界青睐?且待下回分解。

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参考资料:

注解:
[1]不是真的视觉上的漩涡,但要解释这个概念,会需要另外一篇独立的文章。