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v=5-2 量子霍尔态之谜(下)

2020-06-09 05:27 700浏览

连结:v=5/2 量子霍尔态之谜(中)

在前两篇文章中我们首先複习了量子霍尔效应,指出 \(v=\frac{5}{2}\) 的特别之处,并且对于 \(v=\frac{5}{2}\) 的其中一个强力候选波函数 —— Pf  态进行了一些定性上的介绍。我们也指出,Pf 态所内建有趣的数学性质,也间接反馈到实验的研究,强化了人们对真实系统 \(v=\frac{5}{2}\) 量子霍尔态的兴趣。

在本文中,我们将讨论现今与 Pf 分庭抗礼的候选人(们)。

首先让我们回忆,在本系列第一篇文章中的一个等式

\(\displaystyle v=\frac{5}{2}=2+\frac{1}{2}\)

这个分解的意思是,在理论研究上,我们常常把这个态分解成两个全填满的兰道阶与一个半填满的兰道阶。倘若兰道阶之间的交互作用可以省略,我们则可以把所有的物理投射到一个半填满的兰道阶,这个问题在形式上就会接近其他在最低兰道阶的量子霍尔效应问题。

经过这样的简化,我们观察到,如果这个态基本上就是一个 \(v=\frac{1}{2}\) 态,那这个问题具有粒子-电洞对称(particle-hole symmetry)。粒子-电洞转换等同于把所有佔满的轨域换成空轨域,并把空轨域填上电子。回忆一下v的意义就是被佔满的轨域与空轨域的比值,粒子-电洞作用的方式是:

\(C:v\rightarrow 1-v\)

也因此 \(v=\frac{1}{2}\) 在这个操作下应该回到 \(v=\frac{1}{2}\)。

然而,如果我们真的写下 Pf  波函数的数学形式,然后将所有电子跟电洞的座标对换,我们并不会得到原来的波函数,这个新波函数称作 anti-Pfaffian [1, 2],或简写成 aPf 。但由于在单一兰道阶的模型是符合这个对称性的,也就是说,从检测最低能量的角度,我们无法分辨这两个波函数。

从观测科学的角度,在深入追究两者之前,我们应该先问,那幺实际上的半导体,兰道阶之间的影响是否能省略呢?答案是否定的。尤其在计算中考虑其他兰道阶时,模型中会产生一些三体交互作用的项,这个项直接破坏了粒子-电洞的对称,也因此在真实世界中,其中一个波函数会有较低的能量。

让我们梳理一下至今的逻辑。在考虑 \(v=\frac{5}{2}\) 的问题时,因为其他兰道阶的效应太複杂,我们首先只专注于其中 \(v=\frac{1}{2}\) 填满的部分,尝试找出它的基态,然后再釐清将其他兰道阶放回来时造成的修正。然而,在 \(v=\frac{1}{2}\) 的兰道阶上,因为粒子 – 电洞对称性,若 Pfaffian 波函数在能量的角度上有机会成为基态,那幺在同样的精确度下,anti-Pfaffian 也有机会。接着,考虑其他兰道阶,当一些破坏粒子-电洞对称的项进到问题中,这两个状态的波函数将具有不同的能量,那问题就是——谁有比较低的能量?

v=5/2 量子霍尔态之谜(下)

Figure1. 我们用本图说明 7/2 跟 3/2 的由来。在图中我们用蓝色小球代表一个手徵玻色子(chiral boson)然后用红色小球表示一个马约拉纳费米子(Majorana fermion)若我们真的分析 Pf 与 aPf 的边界自由度,会发现 Pf 拥有一个往前跑的玻色子跟马约拉纳费米子,由于马约拉纳费米子只是半个正常的费米子,他在能量流的贡献只有正常粒子的一半,所以整个边界上共有 1+1/2 = 3/2。另一方面,aPf 的边界上有一个往回跑的马约拉纳费米子、一个往回跑的玻色子跟一个往前跑的玻色子,加起来是 -1/2-1+1 = -1/2。加总下面两层填满的兰道阶,则分别有 3/2+2 = 7/2与-1/2+2 = 3/2。(photo credit: 作者自绘)

除了 anti-Pfaffian,在 2015 年,芝加哥大学的 D. T. Son 在其狄拉克複合费米子 [3] 的文章中指出,如果让狄拉克複合费米子以 s 波形成古柏对,则这样的配对自动是粒子-电洞对称的,也因此不能是 Pf 或 aPf,而他将这个状态称之为 PH-Pfaffian。

目前数值计算还不足以让我们下最终的结论(可以参见文 [4] 的引言部分。)但从计算基态能量的角度,结果通常是 Pf 或者 aPf。

物理学家们的下一个问题是,那有没有一个关键的差异,让我们可以从实验上去分辨大自然比较锺意的基态?

答案是肯定的。儘管这几个波函数都具有一样的电性 \(v=\frac{5}{2}\)、一样的準粒子电荷 \(e=\frac{1}{4}\) 但如果我们考虑系统的边界,并测量他们的霍尔热导率,就会获得不一样的答案。以 \(\kappa_0T=\frac{\pi^2k^2_B}{3h}T\) 为单位,这三个状态分别有—

\(\kappa_{Pf}=\displaystyle\frac{7}{2}\kappa_0T\)

\(\kappa_{PH-Pf}=\displaystyle\frac{5}{2}\kappa_0T\)

\(\kappa_{aPf}=\displaystyle\frac{3}{2}\kappa_0T\)

在 2017 年底,以色列 Weizmann 科学研究院的团队提出的他们的测量结果 [5,6,7],就当大家认为 \(\frac{7}{2}\) 或 \(\frac{3}{2}\) 之谜就要水落石出时,该论文的结论是:他们看到了\(\frac{5}{2}\)。

这当然不是说答案就是 PH-Pfaffian,但这无疑对理论物理学家们抛出了新的挑战。如果 Pf 跟 aPf 能量上是比较受系统青睐的,那没有其他的机制,在以 Pf 或 aPf 作为计算的出发点,却也能够得到 \(\frac{5}{2}\) 的係数。

在这两年有几个团队考虑了真实系统中杂质与乱序(disorder)对于基态选择可能造成的影响 [4,6],并且得出在某些条件下,因为乱序的存在 PH Pf 有可能出现在相图(phase diagram)的某一个角落。然而,截至今日这个问题还没有一个公认的答案,不同团队提出的相图也不尽相同。

约两个月前,甫退休的哈佛大学教授 B. I. Halperin 在芝加哥大学以「What happens to the 5/2 state?」演讲,也结论我们目前依旧无法断言。但另一方面而言,实验上出乎意料的结果,也是激发后续研究点子的契机。

v=5/2 量子霍尔态之谜(下)

Figure2. 粒子-电洞转换示意图。我们用浅蓝色的球体作为空的轨域而以深蓝色的球体作为填满的轨域。粒子-电洞转换 C 将填满的轨域转换成空的轨域并将空的轨域填满。在半填满的时候,前后的组态在大系统中是一样的。(photo credit: 作者自绘)


参考资料: